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【自有技术大讲堂】光学系统景深公式推导与理论分析

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对于非远心的成像物镜,其景深主要与工作距、焦距、F数及像素大小有关。 

 

对于理想成像的光学系统,物点与像点间满足严格的共轭关系,即所谓的点对点成像。因而物方的一个平面经过成像系统成像,在像方仅有一个清晰平面与之对应。不在该平面上的物点经成像系统成像,要么在清晰成像面前会聚成像点,要么在清晰成像面后会聚成像点,不论哪一种情况,该点在清晰成像面上形成一个像斑,也称为弥散圆。对于实际的光学系统而言,其接收器不论是胶片还是成像芯片,最小像元是有一定的物理尺寸,而非真正的点。当弥散圆小于接受器的像元大小时,即可认为对该物点清晰成像。此时,物方可以清晰成像的范围不再只有一个平面而是一个区域。这段清晰成像的范围就被称为景深。

 

1 光学系统物像关系示意图

 

景深的计算公式如下:

 

其中ΔL1为前景深,ΔL2为后景深,景深ΔLL1L2l为物距,l1为近点物距,l2为远点物距,δ为像素点大小,f为焦距,F/#为光圈数,也称F[1]

 

一般后景深会大于前景深,为了分析方便,仅以前景深为例进行举例分析。利用高斯公式分析物像关系:

 

代入 (1) 可得:

 

其中β为物镜放大倍率,即像高与物高之比

 

由式 (5) 分析各个参数与景深之间的关系:

 

(1) 探测器上的像素点δ越大,系统景深越大;虽然像素点增大有利于景深的提高,同时提升相机的信噪比及成像质量,但是在成像镜头放大倍率及成像芯片大小一定时,系统检测FOV的像素数会减少,成像分辨率下降,进而影响横向检测精度。

 

(2) 单纯增大物镜工作距,保持放大倍率不变时,有利于增大景深,但是变化不明显。增大工作距离会减小进入成像系统的光通量,所以工作距离不宜过大。

 

(3) 增加镜头F数,有利于提高景深且效果明显。但其一方面会降低成像物镜的进光量,导致像面照度减小,需通过延长相机曝光时间的方式弥补,因此在投影光照不足时会影响检测速度;另一方面,随着F数的增大,镜头的分辨能力会下降。具体计算分析如下:

 

(a) 增大F数会降低进入成像系统的光通量。

镜头F数为镜头焦距f与入瞳直径D之比,计算公式如下:

 

 

数值孔径用来衡量光学系统可以收集光线的角度范围,计算公式如下:

 

 

其中n为光学系统物方空间折射率,U为边缘光线与光轴夹角,n则为光学系统像方空间折射率,U为像方边缘光线与光轴夹角。

 

像面中心照度公式为:

 

 

其中L为物面光亮度,其定义为发光表面上微小面积在某一个方向上的发光强度与微面积在垂直于该方向的平面上的投影面积之比。K为通过系数,其定义为出射光能量和入射光能量的比值。

由式 (6) 与式 (7) 可以求出:

 

 

由此可以推出:

 

 

由上式可以看出像面中心照度与F数的平方成反比,增大F数会使得光能急剧减少。

 

(b) F数会降低镜头的分辨能力。

 

镜头的理论分能力由衍射理论和瑞利准则定义,在波长为550nm时,可以表示为[2]

 

 

其单位为线对每毫米。由该式可以看出,随着F数的增大,镜头的分辨能力会下降。

 

(4) 减小放大倍率,有利于提高景深。若成像芯片保持不变,像素点δ一定,像素数一定,减小放大倍率,则成像分辨率降低,若检测FOV变大,成像景深增大。

 

参考文献:

[1]巢渊. 基于机器视觉的半导体芯片表面缺陷在线检测关键技术研究[D]. 东南大学, 2017.

[2]张以谟. 应用光学[M]. 电子工业出版社, 2015, 359-362.

2021年12月28日 17:04